解答: 2020算数オリンピック問題8

平行四辺形ABCDの辺AB,BC,DA上にそれぞれ点E、F、Gをとり、図のように点どうしを結びます。

さらに、EDとAF,GF,GCの交点をそれぞれH,P,Rとし、ECとAF,GFの交点をそれぞれI,Qとします。

三角形EIH,FGI,GRD,四角形AHPGの面積がそれぞれ7㎠、6㎠、10㎠、61㎠のとき、四角形PQCRの面積は何㎠ですか、ただし図は正確とは限りません。


【解答】

下の図のA、B+Cの面積は、平行四辺形の面積の半分になります。


すると、下の図の△EDCの面積と、△AFGと△GCDの面積の和は、

どちらも平行四辺形ABCDの面積の半分となるので、

  △EDCの面積=△AFGの面積+△GCDの面積

となります。

上の図のように、四角形HIQP、四角形PQCR、△RCDの面積をそれぞれ

x, y, zとすると

  △EDCの面積=7+ x + y + z

  △AFGの面積+△GCDの面積=(6 + x + 61) + (10 + y)

よって、

  7+ x + y + z = (6 + x + 61) + (10 + y)

  z = 70㎠



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