解答: 2020 ジュニア広中杯問題12

へこみのない5角形ABCDEは、次の条件をすべて満たす。 

  ∠ABC=156°, ∠BCD=48°, ∠CDE=144°

  AB=CD=EA, BC=DE

∠AEDの大きさを求めよ。


【解答】

(※156+144=300なので、∠EDCに60°を加えると156°になる。そこで)

下の図のようにDCを一辺とする正三角形FDEを作ると

  ∠FDE=360°-(144°+60°)=156°より∠ABC=∠FDE

  AB=CD=DF

BC=DE

よって△ABC≡△FDEであるのでAC=EF

また、AE=CD=CFより、

四角形ACFEは平行四辺形であるとわかる。


次に、∠BCA=∠FED=a°とすると、

∠EFD=24°-a°

平行四辺形において、隣り合う角の和は180°となるので

  ∠AEF+∠CFE

 =∠AED+a°+60°+24°-a°

 =∠AED+84°

 =180°

よって

  ∠AED=180°-84°=96°


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