解答: 2020 ジュニア広中杯問題5

円に外接する6角形PQRSTUがある。PQ//ST, QR//TU, RS//UPであり、直線PQ, TUの交点をA, 直線RS, PQの交点をB, 直線TU, RSの交点をCとするとき、三つの三角形AUP, BQR, CSTの面積は順に4, 9, 16である。

6角形PQRSTUの面積を求めよ。


【解答】

図のように、辺PQ, ST, QR, TU, RS, UPと円との接点をそれぞれD, E, F, G, H, Iとし、円の中心をOとする。このとき、△OPD≡△OPIより、

  PD=PI

同様に、

  QD=QE, RE=RF, SF=SG, TG=TH, UH=UIとなる。

このとき、

  AD+AH=AP+PI+IU+UA

  BD+BF=BQ+QE+RE+RB

  CF+CH=CS+SG+GT+TC

よって

  AB+BC+CA=PQ+QR+RS+ST+TU+UP

となって、△ABCの周りの長さと六角形PQRSTUの周りの長さは等しいことがわかる。

また、 PQ//ST, QR//TU, RS//UPより

  △APU∽△QBR∽△TSC∽△ABC

三角形AUP, BQR, CSTの面積は順に4, 9, 16なので、相似比(長さ比)は

  △APU∽△QBR∽△TSC∽△ABC=2:3:4:(2+3+4)=2:3:4:9

よって、△ABCの面積は9×9=81とわかるので、

六角形PQRSTUの面積は

  △ABC-(△APU+△QBR+△TSC)=81-(4+9+16)=52(㎠)



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