解答: 2020 IGO初級 問題4

三角形ABCの内部に点Pをとります。直線BPと直線ACの交点をEとし、直線CPと直線ABの交点をFとします。直線BFの中点をKとし、直線CEの中点をLとします。直線CFと平行で点Lを通る直線と、直線BCとの交点をSとします。直線BEと平行で点Kを通る直線と、直線BCとの交点をTとします。

さらに、点Lに関し、点Sと対称な点をMとします(※つまり、点Lは線分MSの中点となります)。また、点Kに関し、点Tと対称な点をNとします(※つまり、点Kは線分NTの中点となります)。

このとき、点Pが三角形ABCの内部を移動しても、直線MNが特定の1点を必ず通ることを証明しなさい。

(問題作成者: Ali Zamani)


【方針】

図を描くと、直線NMは点Pを通ると推測できる。そこで、直線MPとBCとの交点をQ、直線NPとBCとの交点をRとし、点QとRが一致することを示せないかと考える。

【解答】

△KTBと△KNFにおいて、

点Kは線分BFの中点なので

   KB=KF …①

点Kに関し点Tと対称な点がNなので、

   KT=KN …②

対頂角なので

   ∠TKB=∠NKF …③

①~③から、二辺夾角相等により、

   △KTB≡△KNF

  ∴TS//NF、BT=FN


同様に、

   △LSC≡△LME

  ∴TS//ME


次に、直線MPとBCの交点をQとすると、BE//TN, TS//NFより

   QB:BT=QP:PN=QC:FN

BT=FNより

   QB:BT=QC:BT

  ∴QB=QC

よって、点Qは線分BCの中点と一致する


直線NPとBCの交点をRとすると、CF//SM, TS//MEより

   RC:CS=RP:PM=RB:ME

CS=MEより

   RC:CS=RB:BS

  ∴RC=RB

よって、点Rは線分BCの中点と一致する


以上より、点QとRは、どちらも、線分BCの中点と一致することがわかる.

したがって、直線MNは線分BCの中点を通る■