三角形ABCの内部に点Pをとります。直線BPと直線ACの交点をEとし、直線CPと直線ABの交点をFとします。直線BFの中点をKとし、直線CEの中点をLとします。直線CFと平行で点Lを通る直線と、直線BCとの交点をSとします。直線BEと平行で点Kを通る直線と、直線BCとの交点をTとします。
さらに、点Lに関し、点Sと対称な点をMとします（※つまり、点Lは線分MSの中点となります）。また、点Kに関し、点Tと対称な点をNとします（※つまり、点Kは線分NTの中点となります）。
このとき、点Pが三角形ABCの内部を移動しても、直線MNが特定の１点を必ず通ることを証明しなさい。
（問題作成者： Ali Zamani）
【方針】
図を描くと、直線NMは点Pを通ると推測できる。そこで、直線MPとBCとの交点をQ、直線NPとBCとの交点をRとし、点QとRが一致することを示せないかと考える。
【解答】
△KTBと△KNFにおいて、
点Kは線分BFの中点なので
KB=KF …①
点Kに関し点Tと対称な点がNなので、
KT=KN …②
対頂角なので
∠TKB＝∠NKF …③
①～③から、二辺夾角相等により、
△KTB≡△KNF
∴TS//NF、BT＝FN
同様に、
△LSC≡△LME
∴TS//ME
次に、直線MPとBCの交点をQとすると、BE//TN, TS//NFより
QB：BT＝QP：PN＝QC：FN
BT＝FNより
QB：BT＝QC：BT
∴QB＝QC
よって、点Qは線分BCの中点と一致する
直線NPとBCの交点をRとすると、CF//SM, TS//MEより
RC：CS＝RP：PM＝RB：ME
CS＝MEより
RC：CS＝RB：BS
∴RC＝RB
よって、点Rは線分BCの中点と一致する
以上より、点QとRは、どちらも、線分BCの中点と一致することがわかる．
したがって、直線MNは線分BCの中点を通る■