解答: 2020 IGO初級 問題2

問題2. 平行四辺形ABCD があります(AB≠BC)。直線ACが∠EADおよび∠BAGの二等分線となるように、直線CD上に点E、Gをとります。直線BCと直線AE、AGとの交点をそれぞれF、Hとします。このとき、直線FGが線分HEの中点を通ることを示しなさい。

(問題作成者:Mahdi Etesamifard)


【解答】(及川)

直線ACは∠EADの二等分線なので、

   ∠DAC=∠EAC=α         …①

とする。また、直線ACは∠BAGの二等分線でもあるので、

   ∠GAC=∠BAC

   ∠GACー∠DAC=∠BAC=∠EAC

   ∠GAD=∠BAE=β         …②

とする。


AB//DCより

   ∠CAB=∠DCA=α+β (錯覚)   …③

また、

   ∠GAC=∠DAC+∠GAD=α+β    …④

③、④より、△GACはGA=GCの二等辺三角形…⑤


AD//BCより

   ∠DAC=∠ACB=∠ACF=α (錯覚) …⑥

①、⑥より

   ∠FAC=∠FCA=α

ゆえに、△FACはFA=FCの二等辺三角形   …⑦


AD//BCより

   ∠GAD=∠AHC=β (同位角)

AB//DEより

   ∠BAE=∠CAE=β (錯覚)

△ACHと△CAEにおいて、

   ∠ACH=∠CAE=α

   ∠AHC=∠CEA=β

   ACは共通

よって、二角挟辺相等より△ACH≡△CAE

   ∴AH=CE              …⑧

⑤、⑧より、△GHEはGH=GEの二等辺三角形…⑨

⑦、⑨より、直線FGは線分HEの垂直二等分線とわかる。

したがって、直線FGは線分HEの中点を通る■ (※及川)


【解答】

AC//BCより、∠FCA=∠DAC=∠FAC

よって、 FA=FC

同様に、GA=GC

したがって、△GAFと△GCFは、1辺が共通で、他の2辺の長さがそれぞれ等しいので、

  △GAF≡△GCF

よって、∠GAF=∠GCF, ∠HAF=∠ECF, ∠AFH=∠CFE

ゆえに、

  △AFH≡△CFE

よって、FE=FH

同様に、GE=GH

以上より、点Fも点Gも、辺HEの垂直二等分線上に存在するので、

直線FGは線分HEの中点を通る。