問題２. 平行四辺形ABCD があります（AB≠BC）。直線ACが∠EADおよび∠BAGの二等分線となるように、直線CD上に点E、Gをとります。直線BCと直線AE、AGとの交点をそれぞれF、Hとします。このとき、直線FGが線分HEの中点を通ることを示しなさい。
（問題作成者:Mahdi Etesamifard)
【解答】（及川）
直線ACは∠EADの二等分線なので、
∠DAC＝∠EAC＝α …①
とする。また、直線ACは∠BAGの二等分線でもあるので、
∠GAC=∠BAC
∠GACー∠DAC＝∠BAC=∠EAC
∠GAD=∠BAE＝β …②
とする。
AB//DCより
∠CAB=∠DCA＝α＋β （錯覚） …③
また、
∠GAC=∠DAC＋∠GAD＝α＋β …④
③、④より、△GACはGA=GCの二等辺三角形…⑤
AD//BCより
∠DAC=∠ACB＝∠ACF＝α （錯覚） …⑥
①、⑥より
∠FAC=∠FCA＝α
ゆえに、△FACはFA＝FCの二等辺三角形 …⑦
AD//BCより
∠GAD=∠AHC＝β （同位角）
AB//DEより
∠BAE=∠CAE＝β （錯覚）
△ACHと△CAEにおいて、
∠ACH＝∠CAE=α
∠AHC=∠CEA＝β
ACは共通
よって、二角挟辺相等より△ACH≡△CAE
∴AH=CE …⑧
⑤、⑧より、△GHEはGH＝GEの二等辺三角形…⑨
⑦、⑨より、直線FGは線分HEの垂直二等分線とわかる。
したがって、直線FGは線分HEの中点を通る■ （※及川）
【解答】
AC//BCより、∠FCA＝∠DAC＝∠FAC
よって、 FA=FC
同様に、GA=GC
したがって、△GAFと△GCFは、１辺が共通で、他の2辺の長さがそれぞれ等しいので、
△GAF≡△GCF
よって、∠GAF=∠GCF, ∠HAF=∠ECF, ∠AFH=∠CFE
ゆえに、
△AFH≡△CFE
よって、FE=FH
同様に、GE=GH
以上より、点Fも点Gも、辺HEの垂直二等分線上に存在するので、
直線FGは線分HEの中点を通る。
