問題2. 平行四辺形ABCD があります(AB≠BC)。直線ACが∠EADおよび∠BAGの二等分線となるように、直線CD上に点E、Gをとります。直線BCと直線AE、AGとの交点をそれぞれF、Hとします。このとき、直線FGが線分HEの中点を通ることを示しなさい。
(問題作成者:Mahdi Etesamifard)
【解答】(及川)
直線ACは∠EADの二等分線なので、
∠DAC=∠EAC=α …①
とする。また、直線ACは∠BAGの二等分線でもあるので、
∠GAC=∠BAC
∠GACー∠DAC=∠BAC=∠EAC
∠GAD=∠BAE=β …②
とする。
AB//DCより
∠CAB=∠DCA=α+β (錯覚) …③
また、
∠GAC=∠DAC+∠GAD=α+β …④
③、④より、△GACはGA=GCの二等辺三角形…⑤
AD//BCより
∠DAC=∠ACB=∠ACF=α (錯覚) …⑥
①、⑥より
∠FAC=∠FCA=α
ゆえに、△FACはFA=FCの二等辺三角形 …⑦
AD//BCより
∠GAD=∠AHC=β (同位角)
AB//DEより
∠BAE=∠CAE=β (錯覚)
△ACHと△CAEにおいて、
∠ACH=∠CAE=α
∠AHC=∠CEA=β
ACは共通
よって、二角挟辺相等より△ACH≡△CAE
∴AH=CE …⑧
⑤、⑧より、△GHEはGH=GEの二等辺三角形…⑨
⑦、⑨より、直線FGは線分HEの垂直二等分線とわかる。
したがって、直線FGは線分HEの中点を通る■ (※及川)
