解答: 2020 広中杯問題Ⅱ-(2)

2つの正三角形が、どの辺ももう一つの正三角形の2辺と交わるよう、右図のように重なっている。2つの正三角形は合同であるとは限らない。

一方の三角形の2辺と、もう一方の三角形の辺とでできる6つの三角形を図のように「あ」~「か」とするとき、それぞれの面積は順に1, 36, 25, 9, 16, 49となった。

この2つの正三角形の共通部分(どちらの正三角形の内部にもある部分)の面積を求めよ。

【解答】

下図のように正三角形を△ABCと△DEFとし、交点をG, H, I, J, K, Lとする。△

∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E, ∠Fはそれぞれ90°で、対頂角は等しくなることから、

△AGL, △FGH, △BIH, △DIJ, △CKJ, △EKLはどれも相似で、

面積比が1:36:25:9:16:49であることから、

相似比は1:6:5:3:4:9であることがわかる。

そこで、辺AG, GL, LAの長さをそれぞれa, b, cとすると、

AB=AG+GH+HB=a+6b+5...①

BC=BI+IJ+JC=5a+3b+4c…②

CA=CK+KL+LA=4a+7b+c...③

①、②より c=4a=3b

②、③より a=b

よって、a=b=c…③

①、③より AB=12a

以上より、△AGLと△ABCの長さ比は1:12, 面積比は1:144とわかる。

したがって、求める面積は

144-(1+25+16)=102







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