２つの正三角形が、どの辺ももう一つの正三角形の２辺と交わるよう、右図のように重なっている。２つの正三角形は合同であるとは限らない。
一方の三角形の２辺と、もう一方の三角形の辺とでできる６つの三角形を図のように「あ」～「か」とするとき、それぞれの面積は順に1, 36, 25, 9, 16, 49となった。
この２つの正三角形の共通部分（どちらの正三角形の内部にもある部分）の面積を求めよ。
【解答】
下図のように正三角形を△ABCと△DEFとし、交点をG, H, I, J, K, Lとする。△
∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E, ∠Fはそれぞれ90°で、対頂角は等しくなることから、
△AGL, △FGH, △BIH, △DIJ, △CKJ, △EKLはどれも相似で、
面積比が1:36:25:9:16:49であることから、
相似比は1:6:5:3:4:9であることがわかる。
そこで、辺AG, GL, LAの長さをそれぞれa, b, cとすると、
AB=AG+GH+HB=a+6b+5...①
BC=BI+IJ+JC=5a+3b+4c…②
CA=CK+KL+LA=4a+7b+c...③
①、②より c=4a=3b
②、③より a=b
よって、a=b=c…③
①、③より AB=12a
以上より、△AGLと△ABCの長さ比は1:12, 面積比は1:144とわかる。
したがって、求める面積は
144－(1+25+16)=102
