解答: 2020 広中杯問題Ⅱ-(4)

へこみのない四角形ABCDはAB=2√3, BC=6, CD=2√6, DA=3, BD=3√2を満たす。線分ACの長さを求めよ。

【解答】

△ABDについて、AB:BD:DA=2√3:3√2:3

△DCBについて、DC:CB:BD=2√6:6:3√2=2√3:3√2:3

よって△ABD∽△DCBとなるので∠ADB=∠CBD

錯角が等しいのでAD//BC


次に、点Bから直線BCに下した垂線の足をHとし、

点Cから直線ADに下した垂線の足をIとすると、

AD//BCより、四角形DHCIは長方形とわかる

このとき、三平方の定理より、

DH^2=(3√2)^2-x^2=(2√6)^2-(6-x)^2

よって、BH=5/2, CH==DI=7/2, DH=IC=√47/2


以上より、

AC^2=(3+7/2)^2+((√47)/2)^2=54

AC=3√6


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