解答:2020 IGO初級 問題3

下の図のように、一辺の長さはそれぞれa, b, cである3つの正三角形があります。各正三角形の1つの頂点が、1点で集まっています。図に示した点線部の長さをx, y, zとします。このとき、

 3(x+y+z)>2(a+b+c)

となることを証明しなさい。(問題作成者:Mahdi Etesamifard)


【解答】

下の図のように、α°、β°、Γ°をとると、正三角形の1つの角の大きさは60°なので、

   α+β+Γ=360-60×3=180


よって、白い三角形3つを下図のようにくっつけると、3つの三角形は一直線に並ぶ.



(※図形的に見て、x+y+z>2cとなるのは一目瞭然ですが、数学的に説明すると)

次に図のように点A, B, C, D, Oを取り、線分BDの長さをtとする.

点Oは線分ADの中点なので

   x+y+z = x+(y+z) > x+t > 2c

  ∴x+y+z > 2c  …①

同様に、

   x+y+z > 2a  …②

   x+y+z > 2b  …③

①・②・③を辺々足して

   3(x+y+z) > 2(a+b+c) ■