解答 2020 IGO中級 問題1

AB//CDの台形ABCDがあり、辺ABの中点をMとする。

また、∠ADN=1/2∠MNC、∠BCN=1/2∠MNDとなるように、

辺CD上に点Nをとる。

このとき、点Nは辺CDの中点となることを証明しなさい。

(作問者 : Alireza Dadgarnia)


【解答】

∠ADN=α、∠BCN=βとすると、

∠MNC+∠MND=2α+2β=180°

よって、α+β=90° …①


次に、直線ADとBCの交点をPとすると、①より、

△PCDは∠CPD=90°の直角三角形となる。

AB//CDより、△PABも∠APB=90°の直角三角形となる。

このとき、点Mは辺ABの中点なので、MA=MP=MB

よって、∠ADN=∠PAM=∠MPA=α 

∠PMB=∠PAM+∠MPA=2α…②

同様に、∠BCN=∠PBM=∠PMB=β 

∠PMA=∠PBM+∠PMB=2β…③


②、③より、

∠PMB=∠MNC, ∠PMA=∠MNDであることがわかる。

よって、AB//CDより、錯角が等しいので、PM//MNとなり、

3点P, M, Nは一直線上にあることがわかる。

ゆえに、点Nは辺CDの中点となる■




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